Маятник с колеблющейся точкой подвеса

Рассмотрим маятник (рис.61,а). Если точка подвеса неподвижна, то единственной силой, создающей момент относительно точки подвеса, является вес груза

Уравнение малых колебаний маятника имеет вид

Если же точка подвеса колеблется вдоль оси y по закону

то при составлении уравнения моментов нужно учесть переносную силу инерции

момент которой составляет

, и тогда уравнение колебаний маятника запишется так:

или

(160)

Рис. 61

Уравнение (160) можно привести к стандартному виду - уравнению Матье.

Для этого положим:

Теперь из диаграммы Айнса-Стретта видно, что параметр а не зависит от амплитуды колебаний точки подвеса и сколь бы малой ни была амплитуда

, неустойчивость нижнего положения маятника наступает вблизи значений

т.е. при

Рассмотрим вопрос об устойчивости верхнего положения маятника (рис.61,б). При неподвижной опоре это положение, конечно, неустойчиво; однако вибрации основания могут придать ему устойчивость. Для получения уравнения движения в данном случае достаточно изменить знак перед членом, содержащим ускорение

в уравнении (160); соответственно параметр

становится отрицательным:

Из рис.61,в видно, что верхнее положение маятника может быть устойчивым. При небольших амплитудах колебаний

точки подвеса, когда

, устойчивость верхнего положения достигается, если выполняется неравенство

. Это условие устойчивости с учетом последней формулы принимает вид

Содержание раздела