Обратный способ

Отделяем грузы и рассматриваем упругий безмассовый скелет системы под действием кинетических реакций - сил инерции

(рис. 22,в). В этой схеме первая пружина нагружена силой

, а вторая - силой

. Перемещение

конца первой

пружины, равное её удлинению, можно записать в виде

Перемещение правого конца второй пружины

равно сумме удлинений обеих пружин:

Из этих соотношений получим

Таким образом, совпали формы записей дифференциальных уравнений движения по основному (уравнения Лагранжа) и прямому способам, а уравнения, полученные обратным способом, отличаются от них по форме. Это связано с тем, что при нашем выборе обобщённых координат кинетическая энергия имеет каноническую форму:

т.е. не содержит произведений скоростей

при

. При этом каждое из уравнений Лагранжа содержит только по одному обобщённому ускорению, как и при использовании прямого способа. Если обобщённые координаты выбрать так, чтобы потенциальная энергия имела каноническую форму

то уравнения Лагранжа совпали бы с уравнениями, полученными обратным способом.

Сопоставляя полученные варианты записей по прямому и обратному способам, можно сделать следующее общее заключение: при составлении системы уравнений по прямому способу

при

, а при составлении по обратному способу

при

Таким образом, пользуясь прямым способом, приходим в общем случае к системе:

, (33)

а применяя обратный способ - к системе:

. (34)

Принципиально важно, что специальным выбором обобщённых координат можно одновременно придать каноническую форму как кинетической, так и потенциальной энергии. Такие координаты

называются нормальными, или главными. При этом

и уравнения Лагранжа принимают вид

(35)

Каждое из уравнений (35) интегрируется независимо от других. Иначе говоря, при использовании нормальных координат система представляет собой как бы совокупность независимых парциальных систем с одной степенью свободы.

Содержание раздела