Теоретические основы динамики машин

         

Метод Ритца


Зададимся несколькими функциями f1(x) , f2(x) ,... , fn(x), каждая из которых удовлетворяет геометрическим граничным условиям задачи, и образум функцию f(x) как сумму

f(x) = C1f1(x) +C2f2(x)+...+Cnfn(x).                       (272)

Если эту функцию подставить в формулу Рэлея

,                                      (273)

то результат будет зависеть от конкретного выбора коэффициентов С1 , С2 , …, Сn.

Метод Ритца основан на простой идее: коэффициенты С1 , С2 , …,  Сn должны быть выбраны так, чтобы вычисление по (273) дало наименьшее значение для w2. Из теоремы Рэлея вытекает, что такой выбор будет наилучшим (при данной системе функций fi).

Условия минимума w2 имеют вид

,                 (i = 1 , 2,..., n),

т.е.

.

Разделив это уравнение на интеграл

 и учитывая (273), получим

             (i = 1 , 2,..., n).            (274)

Уравнения (274) однородны и линейны относительно С1 , С2 , …, Сn и их число равно числу членов выражения (272). Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов при С1 , С2 , …, Сn, получим частотное уравнение. Это уравнение не только дает хорошее приближение для низшей частоты, но также определяет (хотя и с меньшей точностью) значения высших частот; при этом можно будет вычислить столько частот, сколько слагаемых принято в выражении (272).

Метод Ритца, как и метод Рэлея, позволяет решить задачу в случаях разрывных функций EJ и m и когда эти функции представлены различными аналитическими выражениями на различных участках.

Иногда та же идея используется в иной форме. Например, при исследовании поперечных колебаний турбинных лопаток задаются функцией f(x) = axs  (начало координат в закрепленном конце). Применяя затем формулу Рэлея (273), получают частоту в виде зависимости от показателя степени s. Затем при помощи числовых расчетов определяют значение s, которому отвечает наименьшая частота. Это позволяет достаточно надежно определить как форму, так и частоту колебаний первого тона.

Пример 20. Определить методом Ритца низшую собственную частоту поперечных колебаний консоли переменного сечения, имеющей толщину, равную единице; высота изменяется по линейному закону:

;
;
 

(

- длина консоли).



Содержание раздела