Метод последовательных приближений

Докажем, что обычный процесс последовательных приближений приводит к первой собственной форме колебаний. Основой процесса является сравнение двух кривых аn и аn+1, из которых вторая получается как линия прогибов, вызванных нагрузкой man; при этом приближенное значение квадрата частоты определяется по формуле

.                                             (280)

Подобно выражению (265) представим исходную кривую

 в виде ряда

                           (281)

Тогда нагрузка, соответствующая прогибам

, такова:

                              (282)

Рассмотрим одно из слагаемых этой нагрузки -

. От нагрузки  прогибы будут , поэтому от нагрузки  прогибы будут в  раз больше, т.е. составят . Следовательно, кривая прогибов от суммарной нагрузки определяется рядом

                     (283)

который отличается от ряда (282) тем, что каждый член ряда разделен на квадрат соответствующей частоты. Так как

 то кривая  ближе к , чем исходная кривая ; члены ряда, содержащие ,  и искажающие основную форму , представлены в ряде (283) слабее, чем в ряде (281). Продолжая процесс дальше, получим для

 кривой

.                (284)

Как видно, при

 высшие формы исчезают; следовательно, какой бы ни была выбрана исходная кривая (например, даже очень похожей на вторую собственную форму), процесс в конечном итоге приведет именно к первой собственной форме.

Поэтому может показаться, что попытка построить вторую собственную форму при помощи этого метода обречена на неудачу, так как всякое искажение, вносимое первой формой в приближенную вторую форму, будет постепенно увеличиваться; после большого числа построений второй тип колебаний совершенно исчезнет, и останется лишь первый тип.

Однако несколько видоизменяя метод, можно добиться того, что в результате последовательных приближений «очистится» не первая, а именно вторая собственная форма колебаний. Этот прием нашел практическое применение при расчете изгибных колебаний крыльев самолетов и лопаток турбин.

Прием основан на устранении формы

 из исходной функции .
Допустим, что в разложении (281) отсутствует слагаемое, соответствующее первой форме, тогда оно не сможет возникнуть при всех последующих операциях, и ряд (284) принимает вид



При  исчезнут все формы колебаний, кроме второй. Чтобы процесс последовательных приближений привел именно ко второй форме, нужно из исходной функции  исключить первую собственную форму . Это можно сделать, приняв в качестве основы для построения второго приближения функцию

                                    (285)

где  - «подходящая» функция;  - предварительно найденная первая собственная форма.

Коэффициент  следует принять таким, чтобы форма  была ортогональна первой собственной форме :

         

Подставляя сюда (285), получим



Далее от нагрузки  следует определить прогибы . Если при помощи  (285) первая форма  исключена совершенно точно, то функция  будет ближе ко второй форме, а последующие операции обеспечат сколь угодно близкое приближение к .

Однако первая собственная форма может быть известна лишь приближенно, поэтому операция, заключенная в (285), не гарантирует полного освобождения от первой формы . В связи с этим при продолжении процесса нужно снова исправить функцию  и принять

                                  (286)

где  коэффициент  также определяется условием ортогональности

функций  и :



которое после подстановки  (286) дает



Затем следует определить кривую  от нагрузки , вновь исправить ее по формуле:

  и т.д.

В таком процессе последовательных приближений ортогонализация сопровождает каждый шаг выкладок и, непрерывно вытесняя «примесь» первой формы, приведет ко второй собственной форме и второй частоте, которая, подобно (280), определится формулой



Таким же образом при помощи сопровождающей ортогонализации можно определить третью собственную форму и третью частоту и т.д.


Содержание раздела

---

---