Теоретические основы динамики машин

         

Флаттер крыла в воздушном потоке


Как уже говорилось выше, флаттером называются автоколебания тел в потоке газа или жидкости.

При появлении первых скоростных самолетов флаттер служил причиной многочисленных катастроф. Явление флаттера тесно связано с теми воздействиями, которые поток воздуха оказывает на колеблющееся крыло.

Ограничимся рассмотрением принципиальной картины этого явления. При флаттере крыло самолета совершает изгибно-крутильные колебания, поэтому для анализа этого явления необходимо учесть по крайней мере две степени свободы крыла. При практических расчетах достаточно учесть движения крыла по первым формам собственных изгибных и крутильных колебаний. В еще более простом варианте расчета рассмотрим жесткое крыло, имеющее две степени свободы, соответствующие его вертикальному перемещению и повороту (рис.65).

Существенное значение имеет положение центра тяжести крыла, т.е. той точки его хорды, приложение вертикальной силы в которой вызывает только вертикальное перемещение крыла, но не его поворот. К этой точке (точка 0 на рис.65) будем приводить действующие на крыло силы.

Рис. 65

Если обозначить вертикальное перемещение центра жесткости крыла через

, а изменение угла атаки крыла в процессе движения через
, то упругие сила и момент, приложенные в точке 0, будут равны соответственно
 и
, где
 и
 - коэффициенты жесткости.

Сила инерции и момент сил инерции относительно точки 0 составляют соответственно

                 (165)

где

 - расстояние от центра жесткости крыла до его центра массы;
 - масса крыла;
 - радиус инерции массы крыла относительно центральной оси.

Наибольшие трудности представляет определение изменений аэродинамических сил, возникающих вследствие движения крыла. Простейшая гипотеза относительно этих сил состоит в том, что их можно вычислить так же, как и при неподвижном крыле, подставив в соответствующие формулы значения мгновенного угла атаки. В этом предположении получаем увеличение подъемной силы и момента

                               (166)

где

 - плотность воздуха;
 - скорость потока;
 - площадь сечения крыла;
 - расстояние от центра тяжести до центра давления, который расположен на одной четверти хорды крыла.




Формулы (166) представляют собой грубое приближение, так как в них полностью игнорируется влияние движения крыла на обтекание. Более точное решение задачи показывает, что если крыло совершает, например, гармонические колебания с частотой
, то следует учитывать еще инерцию присоединенной массы воздуха и то обстоятельство, что изменение подъемной силы оказывается смещенным по фазе относительно изменения угла атаки.

Как величина присоединенной массы, так и фазовый сдвиг зависят от безразмерного параметра
, характеризующего частоту колебаний.

Ради упрощения расчета не будем учитывать всех этих обстоятельств и дополнительно в первой из формул (166) пренебрежем слагаемым
, которое характеризует аэродинамическое демпфирование вертикальных колебаний крыла. С учетом сказанного получаем уравнения движения крыла в виде

                      (167)

где       
.

Решение системы (167) отыщем в виде, соответствующем гармоническим колебаниям:

                                          (168)

Подставляя (168) в (167), получим систему однородных алгебраических уравнений относительно
 и
:

              (169)

Приравнивая нулю определитель системы (169), получим частотное уравнение. Для того чтобы привести это уравнение к более простому виду, введем следующие обозначения:



- собственные частоты поступательных (изгибных) и крутильных колебаний крыла;



- относительная плотность крыла.

Тогда частотное уравнение можно представить в так:

       (170)            

При нулевой скорости потока V=0 это уравнение даёт два положительных значения W2, соответствующих  двум  собственным  частотам  системы.

С увеличением скорости потока возможно появление двух типов неустойчивости. Так, один из корней уравнения (170) может обратиться в нуль, что соответствует обращению в нуль свободного члена уравнения (170):

                                   (171)

Обращение в нуль частоты собственных колебаний системы свидетельствует о её статической неустойчивости. Действительно, возвращаясь в формуле (171) к первоначальным обозначениям, приведём её к виду





Если это соотношение выполняется, то при повороте крыла на угол а момент дополнительной подъёмной силы



уравновешивается  упругим моментом 
.

Явление статической потери устойчивости крыла при достижении скоростью потока значения Vg называется дивергенцией.

Для крыльев самолётов, как правило, скорость дивергенции существенно превышает скорость полета и дивергенция не представляет реальной опасности.

Другой вид потери устойчивости – изгибно-крутильный флаттер - связан с тем, что частоты, определяемые из  (170), становятся комплексными числами. Если имеются сопряжённые комплексные частоты
, то соответствующие решения уравнений движения имеют множители

.

Экспоненциальные множители с действительными   положительными показателями неограниченно возрастают.

Таким образом, в этом случае движение представляет собой колебания с нарастающими амплитудами (колебательный характер движения определяется множителями
).

Итак, условием наступления флаттера является появление комплексных корней уравнения (170), что происходит при обращении в нуль (назовём это «граничным условием») его дискриминанта:

                          (172)

Из уравнения (172) легко вычислить скорость флаттера.

Проследим на числовом примере характер изменения частоты свободных колебаний крыла по уравнению (170) при увеличении скорости потока.

Допустим, что
;
;
;
;
.

Этим данным соответствуют скорость дивергенции, вычисленная по уравнению (171),
, и скорость флаттера, вычисленная по уравнению (172),
.

График  изменения частот колебаний системы в зависимости от скорости потока, построенный в соответствии с уравнением (170),показан на рис.66.



Рис. 66

При V=0 система имеет две частоты собственных колебаний, мало отличающиеся от частот чисто крутильных и чисто изгибных колебаний. С увеличением скорости потока частоты сближаются, и при скорости флаттера оказываются равными друг другу.

Наличие кратных собственных частот для консервативной системы не связано с какими-либо особенностями её поведения.Для неконсервативной системы, которую представляет собой крыло, находящееся в потоке воздуха, слияние двух частот ведёт к потере устойчивости движения. В процессе колебаний система начинает интенсивно потреблять энергию потока и амплитуды колебаний неограниченно возрастают. Механизм этого явления легко понять, если представить себе, что происходящие с одинаковой частотой крутильные и изгибные колебания крыла сдвинуты по фазе на
, так что, когда крыло движется вверх, его угол атаки (а значит, и подъёмная сила) больше, чем когда оно движется вниз. При этом за полный цикл подъёмная сила будет совершать положительную работу и энергия колебания будет непрерывно возрастать.


Содержание раздела